Funksjoner som alltid er mindre enn deres derivater

Mike Brown 08/20/2017. 12 answers, 3.142 views
calculus integration differential-equations derivatives inequality

Jeg lurte på om det finnes funksjoner som $$ f '(x)> f (x) $$ for alle $ x $. Bare eksempler jeg kunne tenke på var $ e ^ x - c $ og bare $ - c $ der $ c> 0 $. Også er det noen betydning i en funksjon som alltid er mindre enn dens derivat?


Rediger: Takk så mye for alle svarene. Det ser ut til at nesten alle funksjoner som gjelder, er eksponentielle av naturen ... Er det flere eksempler som - 1 / x?

Igjen er det noen programmer / fysiske manifestasjoner av disse funksjonene? [for eksempel et objekt med en hastighet som alltid er større enn dens posisjon / akselerasjon er alltid større enn dens hastighet]

3 Comments
1 BallpointBen 07/28/2017
Av toppen av hodet mitt, hvilken som helst begrenset, monotonisk økende funksjon i bunnhalvplanet.
1 Robin Saunders 07/29/2017
Ixions svar gir den fulle, mest generelle løsningen (selv om enkelte bestemte løsningsfamilier kan skrives i bedre form), og bør aksepteres.
Hamsteriffic 07/30/2017
1! Men vær så snill å fikse tittelen, endre "dens" til "deres". Måten tittelen er skrevet på, for et øyeblikk så det ut som om du vurderte derivater av alle ordrer. Og nå er jeg nysgjerrig på dette sidespørsmålet, haha!

12 Answers


Ixion 07/29/2017.

Hvis $ y '(x)> y (x) \ quad \ forall x \ in \ mathbb {R} $, kan vi definere $ f (x) = y' (x) -y (x) $ som er positivt forall $ x $. Anta at $ y '(x) $ er kontinuerlig funksjon slik at $ f (x) $ er kontinuerlig også. Nå med dette elementet kan vi bygge differensialligningen $$ y '(x) = y (x) + f (x) $$ og dens løsninger er gitt av: $$ y (x) = e ^ {x} \ left (c + \ int_ {x_0} ^ {x} e ^ {-} s f (s) ds \ høyre) $$

Igjen er det noen programmer / fysiske manifestasjoner av disse funksjonene? [for eksempel et objekt med en hastighet som alltid er større enn dens posisjon / akselerasjon er alltid større enn dens hastighet]

Jeg vet ikke om det er bruk av denne interessante eiendommen, men jeg er sikker på at du ikke kan sammenligne hastighet med stillingen fordi de ikke er homogene mengder.


Aidan Connelly 07/29/2017.

Forutsetter $ f (x)> 0 $, $ f: \ mathbb {R} \ mapsto \ mathbb {R} $

$ f '(x)> f (x) \ iff \ frac {d} {dx} \ ln (f (x))> 1 $

Så du kan slå hvilken som helst funksjon $ g $ hvor $ g '(x)> 1 $ til denne typen funksjon ved å ta eksponensialet av det:

$ \ frac {d} {dx} g (x)> 1 \ innebærer \ frac {d} {dx} \ ln (e ^ {g (x)})> 1 \ innebærer \ frac {d} {dx} e ^ {g (x)}> e ^ {g (x)} $

5 comments
6 Hagen von Eitzen 07/28/2017
Du antar $ f (x)> 0 $ i begynnelsen
2 MPW 07/28/2017
@HagenvonEitzen: Så kunne han bare bruke $ \ hat {f} (x) \ equiv e ^ {f (x)} $ som utgangspunkt for en gitt $ f $. På den måten har man alltid $ \ hat {f} (x)> 0 $.
Robin Saunders 07/29/2017
Ixions svar gir full generalisering ved å la $ \ frac {df} {dx} - f (x) $ være en hvilken som helst funksjon som er overordnet positiv.
Adayah 07/29/2017
@RobinSaunders Nei, han forutsetter kontinuitet på $ f '(x) $.
Robin Saunders 07/29/2017
Jeg er ganske sikker på at tilstanden ikke er nødvendig.

Peter 07/28/2017.

Et enkelt eksempel er $ f (x) = - x ^ 2-3 $


dromastyx 07/28/2017.

Et mer interessant problem er å finne en funksjon $ f: \ mathbb {R} \ rightarrow \ mathbb {R} $, hvis bilde er $ \ mathbb {R} $ og tilfredsstiller $ f '(x)> f (x) $ for alle $ x \ in \ mathbb {R} $. En av disse funksjonene er

$$ \ sinh (x), $$

fordi

$$ \ frac {d} {dx} \ sinh (x) = \ cosh (x)> \ sinh (x) $$ for alle $ x \ in \ mathbb {R} $.


M. Winter 07/28/2017.

Ta $ f (x) = e ^ {\ alpha x} $. Deretter har vi $ $ ($) for $ $ $ ($) for $ $ ($) og $ $ $ $ ($). Vi har $ f '(x) <f (x) $.


steven gregory 07/28/2017.

Hva med om du ser på det som en differensialligning. Si

$ y '= y + 1 $

som har løsning $ y = Ce ^ x -1 $

Eller $ y '= y + x ^ 2 + 1 $

som har løsning $ y = Ce ^ x - (x ^ 2 + 2x + 3) $

Eller $ y '= y + 2 \ sin x + 3 $

som har løsning $ y = Ce ^ x - \ sin x - \ cos x -3 $

3 comments
Robin Saunders 07/29/2017
Ixions svar generaliserer dette til $ y '(x) = y (x) + f (x) $ for noen $ f (x)> 0 $.
steven gregory 07/29/2017
@RobinSaunders - bør jeg slette svaret mitt?
Robin Saunders 07/30/2017
Jeg vet ikke mye om Stack Exchange-etikette, men jeg antar at det siden du først skrev ditt svar og inneholder spesifikke eksempler, ikke i det andre svaret, det burde være fint å forlate det.

Eric Towers 07/30/2017.

Et very enkelt eksempel er $ f (x) = -1 <0 = f '(x) $. Relevant for din redigering: dette er ikke eksponentielt i det hele tatt.

Andre eksempler som ikke er umiddelbart eksponentielle:

  • $ \ frac {- \ pi} {2} + \ arctan x $ er overalt negativt og overalt strengt monotonisk økende, så er det overalt mindre enn dets derivat.
  • $ -1 + \ mathrm {erf} (x) $ er også overalt negativt og overalt strengt monotonisk økende. (Disse er veldig liknende, siden de er skiftet kopier av CDFene av (standard / normalisert) Cauchy og Gaussian distribusjoner.)
  • $ \ frac {1} {2} \ left (x - \ sqrt {x ^ 2 + 4} \ right) $ er den nederste grenen av en hyperbola som har $ x $ -aksien og linjen $ y = x $ som asymptoter. Det er overalt negativt og overalt strengt monotonisk økende.

Thiago Nascimento 07/28/2017.

Se, $ - \ frac {1} {x}, \ frac {1} {x ^ {2}} \ i \ [0, \ infty] $

1 comments
7 GEdgar 07/28/2017
Mer generelt, noen negativ funksjon med positiv derivat ...

Joshua Kidd 07/28/2017.

Et annet enkelt eksempel ville være $ f (x) = -e ^ {- x} $, $ f '(x) = e ^ {- x} $


Adayah 07/29/2017.

Ujevnigheten $$ f '(x)> f (x) $$ tilsvarer $$ \ venstre [f (x) e ^ {- x} \ right]'> 0. $$

Så den generelle løsningen er å ta en differensierbar funksjon $ g (x) $ med $ g '(x)> 0 $ og sett $ f (x) = g (x) e ^ x $.

Merk at ingenting antas om $ f $ unntatt differensialitet, som er nødvendig for å stille spørsmålet i utgangspunktet.


HelloGoodbye 07/30/2017.

For en differensialfunksjon $ f $ som både $ f (x) $ og $ f '(x) $ er begrenset til finite områder, er $ f' (x) - f (x) $ også begrenset til et begrenset område, så det er en $ c $ som $ f '(x) - f (x)> -c \ \ forall \ x $. Derfor kan en funksjon $ g (x) = f (x) - c $ dannes for hvilken $ g '(x) - g (x) - c> -c \ \ forall \ x $ eller $ g' )> g (x) \ \ forall \ x $.

For eksempel gjelder dette for mange differensielle periodiske funksjoner.

5 comments
1 Adayah 07/29/2017
Den siste setningen er feil, siden ikke hver differensierbar periodisk funksjon har avgrenset derivat.
HelloGoodbye 07/30/2017
@Adayah Du har rett. Jeg vurderte periodiske funksjoner som var differensierbare på alle punkter i $ \ mathbb {R} $, men jeg skjønner at en funksjon bare må differensieres på alle punkter i sitt domene for å bli ansett differensierbar. Jeg har oppdatert svaret mitt.
Adayah 07/30/2017
Jeg mener, en funksjon $ f: \ mathbb {R} \ til \ mathbb {R} $ kan være periodisk og differensibel i hvert punkt $ a \ in \ mathbb {R} $ og har fortsatt ubundet derivat.
HelloGoodbye 07/30/2017
@Adayah Har du noen eksempler på en slik funksjon?
HelloGoodbye 07/30/2017
@Adayah Jeg mener, hvis en funksjon $ f $ er differensierbar overalt, må dens derivat $ f '$ eksistere overalt, og $ f' $ må være kontinuerlig (fordi hvis den inneholder diskontinuitet, kan $ f '$ ikke eksistere på det tidspunktet ). Det gjør det umulig for $ f '$ å være ubundet, ikke sant?

Henk Koppelaar 08/02/2017.

Mike et svar på ditt ekstra spørsmål "Er det fysiske eksempler på dette?" er aktivert av dromastyx.

Hans eksempel viser hyperboliske funksjoner som nøyaktig beskriver det fysiske fenomenet "solitoner".

Solitoner er ensomme bølger som solstråler, tsunamier osv. Et eksempel på å finne slike bølger gjemt i kjente ligninger er:

http://rsos.royalsocietypublishing.org/content/2/7/140406.review-history

Related questions

Hot questions

Language

Popular Tags