Finne grensen for en integrert: $ \ lim_ {n \ til \ infty} \ int_a ^ bf (x) \ sin ^ 3 {(nx)} \: dx $

Parisina 09/06/2017. 3 answers, 485 views
integration analysis limits continuity uniform-convergence

Anta at $ f: [a, b] \ til \ mathbb {R} $ er kontinuerlig. Bestem om følgende grense eksisterer

$$ \ lim_ {n \ til \ infty} \ int_a ^ bf (x) \ sin ^ 3 {(nx)} \: dx. $$

Siden $ f (x) $ og $ \ sin ^ 3 {(nx)} $ er kontinuerlige, så deres produkt er Riemann integrable. Men $ \ lim_ {n \ til \ infty} f (x) \ sin ^ 3 {(nx)} $ eksisterer ikke, så det er ikke jevnt konvergens og vi kan ikke passere grensen inne i integralet. Det tilfredsstiller heller ikke under betingelsene i Dini Theorem. Jeg vet ikke hvordan jeg skal gjøre et gyldig argument for dette problemet, men jeg tenker på det jeg sa grensen ikke eksisterer. Jeg setter pris på all hjelp.

3 Answers


Robert Israel 07/31/2017.

Riemann-Lebesgue lemma . Merk at $ \ sin ^ 3 (nx) = \ frac {3} {4} \ sin (nx) - \ frac {1} {4} \ sin (3nx) $.

2 comments
Parisina 07/31/2017
Takk, jeg tror, ​​jeg kan fullføre det nå
Teepeemm 07/31/2017
Det ser ut til å være mer avansert enn problemet kaller for.

Sangchul Lee 07/31/2017.

En litt annen måte å løse dette på er å bruke følgende observasjon.

Proposition. Hvis $ f: [a, b] \ til \ mathbb {R} $ er kontinuerlig, er $ g: \ mathbb {R} \ til \ mathbb {R} $ kontinuerlig og $ L $ -periodisk, deretter

$$ \ lim_ {n \ til \ infty} \ int_ {a} ^ {b} f (x) g (nx) \, dx = \ venstre (\ int_ {a} ^ {b} f (x) \, dx \ høyre) \ venstre (\ frac {1} {L} \ int_ {0} ^ {L} g (x) \, dx \ høyre). $$

  1. Forutsatt denne setningen følger svaret umiddelbart siden $ x \ mapsto \ sin ^ 3 x $ er $ 2 \ pi $ -periodisk og

    $$ \ int_ {0} ^ {2 \ pi} \ sin ^ 3 x \, dx = 0. $$

  2. Intuisjonen er veldig klar: Hvis $ n $ er veldig stor, så har vi på subinterval $ [c, c + \ frac {L} {n}] \ subset [a, b] $

    $$ \ int_ {c} ^ {c + \ frac {L} {n}} f (x) g (nx) \, dx \ ca f (c) \ int_ {c} ^ {c + \ frac {L} { n}} g (nx) \, dx = f (c) \ cdot \ frac {1} {n} \ int_ {0} ^ {L} g (x) \, dx. $$

    Så ignorerer detaljer, ville vi ha

    $$ \ int_ {a} ^ {b} f (x) g (nx) \, dx \ ca \ venstre (\ sum_ {k = 1} ^ {lfloor n (ba) / L \ rfloor} f \ left (a + \ frac {kL} {n} \ høyre) \ frac {1} {n} \ høyre) \ venstre (\ int_ {0} ^ {L} g (x) \, dx \ høyre) $$

    og tar grensen som $ n \ til \ infty $, konvergerer høyre side til ønsket verdi. Fylling av detaljene er ganske rutinemessig.

  3. Forutsetningen om kontinuitet er bare en teknisk ramme for enkelt bevis, og du kan slappe av dem til visse grader ved å betale mer innsats.


Michael Hartley 07/31/2017.

Du kan ikke konkludere $$ \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} \ int_a ^ bg (x, n) dx $$ eksisterer ikke bare fordi $$ \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} g (x, n ) $$ gjør det ikke. Eksempelvis eksisterer $$ \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} \ sin (nx) $$, men $$ \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} \ int_0 ^ \ pi \ sin (nx) dx = 0, $$ siden integralet er null for alle $ n $.

Jeg er redd for at min brukervennlighet løper ut på dette punktet, selv om jeg tror grensen eksisterer: du burde, hvis ikke noe annet, kunne finne et epsilon-delta-argument som uttrykker integralet som summen av en gruppe integraler med lengdeintervaller $ \ frac {2 \ pi} {n} $. Dette kan være en veldig dårlig måte å takle problemet på.


HighResolutionMusic.com - Download Hi-Res Songs

1 The Chainsmokers

Beach House flac

The Chainsmokers. 2018. Writer: Andrew Taggart.
2 (G)I-DLE

POP/STARS flac

(G)I-DLE. 2018. Writer: Riot Music Team;Harloe.
3 Ariana Grande

​Thank U, Next flac

Ariana Grande. 2018. Writer: Crazy Mike;Scootie;Victoria Monét;Tayla Parx;TBHits;Ariana Grande.
4 Anne-Marie

Rewrite The Stars flac

Anne-Marie. 2018. Writer: Benj Pasek;Justin Paul.
5 Clean Bandit

Baby flac

Clean Bandit. 2018. Writer: Jack Patterson;Kamille;Jason Evigan;Matthew Knott;Marina;Luis Fonsi.
6 Nicki Minaj

No Candle No Light flac

Nicki Minaj. 2018. Writer: Denisia “Blu June” Andrews;Kathryn Ostenberg;Brittany "Chi" Coney;Brian Lee;TJ Routon;Tushar Apte;ZAYN;Nicki Minaj.
7 BlackPink

Kiss And Make Up flac

BlackPink. 2018. Writer: Soke;Kny Factory;Billboard;Chelcee Grimes;Teddy Park;Marc Vincent;Dua Lipa.
8 Imagine Dragons

Bad Liar flac

Imagine Dragons. 2018. Writer: Jorgen Odegard;Daniel Platzman;Ben McKee;Wayne Sermon;Aja Volkman;Dan Reynolds.
9 BTS

Waste It On Me flac

BTS. 2018. Writer: Steve Aoki;Jeff Halavacs;Ryan Ogren;Michael Gazzo;Nate Cyphert;Sean Foreman;RM.
10 Halsey

Without Me flac

Halsey. 2018. Writer: Halsey;Delacey;Louis Bell;Amy Allen;Justin Timberlake;Timbaland;Scott Storch.
11 Little Mix

Woman Like Me flac

Little Mix. 2018. Writer: Nicki Minaj;Steve Mac;Ed Sheeran;Jess Glynne.
12 Brooks

Limbo flac

Brooks. 2018.
13 Fitz And The Tantrums

HandClap flac

Fitz And The Tantrums. 2017. Writer: Fitz And The Tantrums;Eric Frederic;Sam Hollander.
14 Backstreet Boys

Chances flac

Backstreet Boys. 2018.
15 Lady Gaga

I'll Never Love Again flac

Lady Gaga. 2018. Writer: Benjamin Rice;Lady Gaga.
16 Diplo

Close To Me flac

Diplo. 2018. Writer: Ellie Goulding;Savan Kotecha;Peter Svensson;Ilya;Swae Lee;Diplo.
17 Rita Ora

Velvet Rope flac

Rita Ora. 2018.
18 Bradley Cooper

Always Remember Us This Way flac

Bradley Cooper. 2018. Writer: Lady Gaga;Dave Cobb.
19 Imagine Dragons

Machine flac

Imagine Dragons. 2018. Writer: Wayne Sermon;Daniel Platzman;Dan Reynolds;Ben McKee;Alex Da Kid.
20 Erika Sirola

Speechless flac

Erika Sirola. 2018. Writer: Teemu Brunila;Stefan Dabruck;Jürgen Dohr;Guido Kramer;Dennis Bierbrodt;Chris Braide;Robin Schulz.

Related questions

Hot questions

Language

Popular Tags