Finne grensen for en integrert: $ \ lim_ {n \ til \ infty} \ int_a ^ bf (x) \ sin ^ 3 {(nx)} \: dx $

Parisina 09/06/2017. 3 answers, 485 views
integration analysis limits continuity uniform-convergence

Anta at $ f: [a, b] \ til \ mathbb {R} $ er kontinuerlig. Bestem om følgende grense eksisterer

$$ \ lim_ {n \ til \ infty} \ int_a ^ bf (x) \ sin ^ 3 {(nx)} \: dx. $$

Siden $ f (x) $ og $ \ sin ^ 3 {(nx)} $ er kontinuerlige, så deres produkt er Riemann integrable. Men $ \ lim_ {n \ til \ infty} f (x) \ sin ^ 3 {(nx)} $ eksisterer ikke, så det er ikke jevnt konvergens og vi kan ikke passere grensen inne i integralet. Det tilfredsstiller heller ikke under betingelsene i Dini Theorem. Jeg vet ikke hvordan jeg skal gjøre et gyldig argument for dette problemet, men jeg tenker på det jeg sa grensen ikke eksisterer. Jeg setter pris på all hjelp.

3 Answers


Robert Israel 07/31/2017.

Riemann-Lebesgue lemma . Merk at $ \ sin ^ 3 (nx) = \ frac {3} {4} \ sin (nx) - \ frac {1} {4} \ sin (3nx) $.

2 comments
Parisina 07/31/2017
Takk, jeg tror, ​​jeg kan fullføre det nå
Teepeemm 07/31/2017
Det ser ut til å være mer avansert enn problemet kaller for.

Sangchul Lee 07/31/2017.

En litt annen måte å løse dette på er å bruke følgende observasjon.

Proposition. Hvis $ f: [a, b] \ til \ mathbb {R} $ er kontinuerlig, er $ g: \ mathbb {R} \ til \ mathbb {R} $ kontinuerlig og $ L $ -periodisk, deretter

$$ \ lim_ {n \ til \ infty} \ int_ {a} ^ {b} f (x) g (nx) \, dx = \ venstre (\ int_ {a} ^ {b} f (x) \, dx \ høyre) \ venstre (\ frac {1} {L} \ int_ {0} ^ {L} g (x) \, dx \ høyre). $$

  1. Forutsatt denne setningen følger svaret umiddelbart siden $ x \ mapsto \ sin ^ 3 x $ er $ 2 \ pi $ -periodisk og

    $$ \ int_ {0} ^ {2 \ pi} \ sin ^ 3 x \, dx = 0. $$

  2. Intuisjonen er veldig klar: Hvis $ n $ er veldig stor, så har vi på subinterval $ [c, c + \ frac {L} {n}] \ subset [a, b] $

    $$ \ int_ {c} ^ {c + \ frac {L} {n}} f (x) g (nx) \, dx \ ca f (c) \ int_ {c} ^ {c + \ frac {L} { n}} g (nx) \, dx = f (c) \ cdot \ frac {1} {n} \ int_ {0} ^ {L} g (x) \, dx. $$

    Så ignorerer detaljer, ville vi ha

    $$ \ int_ {a} ^ {b} f (x) g (nx) \, dx \ ca \ venstre (\ sum_ {k = 1} ^ {lfloor n (ba) / L \ rfloor} f \ left (a + \ frac {kL} {n} \ høyre) \ frac {1} {n} \ høyre) \ venstre (\ int_ {0} ^ {L} g (x) \, dx \ høyre) $$

    og tar grensen som $ n \ til \ infty $, konvergerer høyre side til ønsket verdi. Fylling av detaljene er ganske rutinemessig.

  3. Forutsetningen om kontinuitet er bare en teknisk ramme for enkelt bevis, og du kan slappe av dem til visse grader ved å betale mer innsats.


Michael Hartley 07/31/2017.

Du kan ikke konkludere $$ \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} \ int_a ^ bg (x, n) dx $$ eksisterer ikke bare fordi $$ \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} g (x, n ) $$ gjør det ikke. Eksempelvis eksisterer $$ \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} \ sin (nx) $$, men $$ \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} \ int_0 ^ \ pi \ sin (nx) dx = 0, $$ siden integralet er null for alle $ n $.

Jeg er redd for at min brukervennlighet løper ut på dette punktet, selv om jeg tror grensen eksisterer: du burde, hvis ikke noe annet, kunne finne et epsilon-delta-argument som uttrykker integralet som summen av en gruppe integraler med lengdeintervaller $ \ frac {2 \ pi} {n} $. Dette kan være en veldig dårlig måte å takle problemet på.

Related questions

Hot questions

Language

Popular Tags